Flashcard FC282706
Como o Teorema de Bayes combina a priori e a verossimilhança para obter a a posteriori?
Estatística Bayesiana
VUNESP · 2023
Como o Teorema de Bayes combina a priori e a verossimilhança para obter a a posteriori?
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Resposta
Via multiplicação e normalização: \(p(\theta\mid x)\propto p(x\mid\theta)\,p(\theta)\), com normalização pela evidência \(p(x)\).Explicação:
O Teorema de Bayes multiplica a priori \(p(\theta)\) pela verossimilhança \(p(x\mid\theta)\) e divide pela evidência \(p(x)=\int p(x\mid\theta)p(\theta)\,d\theta\) para obter a distribuição a posteriori \(p(\theta\mid x)\).
Isso resulta numa distribuição que reflete as crenças iniciais atualizadas pelos dados, usada para estimativas e intervalos de credibilidade.
exemplo:
Suponha uma moeda com probabilidade \(\theta\) de dar cara. Escolhemos uma priori Beta(2,2): \(p(\theta)\propto\theta^{1}(1-\theta)^{1}\).
Observamos 8 caras e 2 coroas, a verossimilhança é \(p(x\mid\theta)=\theta^{8}(1-\theta)^{2}\).
Posterior (proporcional): \(p(\theta\mid x)\propto \theta^{8}(1-\theta)^{2}\cdot\theta^{1}(1-\theta)^{1}=\theta^{9}(1-\theta)^{3}\).
Portanto a a posteriori é Beta(10,4): \(p(\theta\mid x)=\mathrm{Beta}(\theta;10,4)\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/282618
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