Qual a vantagem principal de escolher uma priori conjugada na inferência Bayesiana?

Porque simplifica a obtenção da posteriori e permite atualizar/interpretar diretamente os hiperparâmetros.

Explicação:
Uma priori conjugada faz com que a posteriori pertença à mesma família da priori, o que torna a derivação analítica direta e os hiperparâmetros atualizáveis por combinação explícita da informação prévia e dos dados.

exemplo:
Suponha observações \(x_1,\dots,x_n\) com \(x_i\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) e \(\sigma^2\) conhecida. Use a priori \(\mu\sim\mathcal{N}(\mu_0,\tau_0^2)\) (conjugada).
Então a posteriori é \(\mu\mid x\sim\mathcal{N}(\mu_n,\tau_n^2)\) com
\(\displaystyle \tau_n^2=\left(\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\tau_0^2}\right)^{-1}\),
\(\displaystyle \mu_n=\tau_n^2\!\left(\frac{n}{\sigma^2}\bar{x}+\frac{1}{\tau_0^2}\mu_0\right)\).
Percebe-se que os parâmetros póseriors são atualização explícita da crença prévia (\(\mu_0,\tau_0^2\)) pelos dados (\(\bar{x},n\)), permitindo interpretação direta dos efeitos relativos da priori e da amostra.