Flashcard FC282716
Como o Teorema Central do Limite permite aproximar a distribuição da média amostral e qual é seu desvio padrão em função de σ e n?
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
VUNESP · 2024
Como o Teorema Central do Limite permite aproximar a distribuição da média amostral e qual é seu desvio padrão em função de σ e n?
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Resposta
A média amostral é aproximadamente \(N(\mu,\sigma^2/n)\) e seu desvio padrão é \(\sigma/\sqrt{n}\).Explicação:
Se X1,...,Xn são i.i.d. com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), então, para n grande, \(\bar{X}\approx N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)\).
Logo o desvio padrão da média é \(\sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
Exemplo:
Considere variáveis i.i.d. Uniforme(0,1): \(\mu=\tfrac{1}{2}\), \(\sigma^2=\tfrac{1}{12}\). Para \(n=100\) queremos \(P(\bar{X}>0{,}6)\).
\(\displaystyle \sigma_{\bar X}=\sqrt{\frac{1/12}{100}}=\frac{1}{\sqrt{1200}}\approx0{,}02887.\)
\(\displaystyle z=\frac{0{,}6-0{,}5}{0{,}02887}\approx3{,}464.\)
\(\displaystyle P(\bar{X}>0{,}6)=P(Z>3{,}464)\approx0{,}00026,\) ou seja, praticamente zero.
Veja como foi cobrado:
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