Flashcard FC282717
O que afirma a Lei dos Grandes Números sobre o comportamento da média amostral quando o tamanho da amostra cresce?
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
VUNESP · 2023
O que afirma a Lei dos Grandes Números sobre o comportamento da média amostral quando o tamanho da amostra cresce?
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Resposta
A média amostral tende à média populacional à medida que n→∞ (convergência em probabilidade ou quase certa).Explicação breve:
Em termos formais, se \(X_1,X_2,\dots,X_n\) são i.i.d. com esperança \(\mu\), então a média amostral \(\bar X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) converge para \(\mu\).
Na forma fraca, \(\Pr(|\bar X_n-\mu|>\varepsilon)\to0\) para todo \(\varepsilon>0\).
Na forma forte, \(\bar X_n\to\mu\) quase certamente, isto é, \(\Pr(\lim_{n\to\infty}\bar X_n=\mu)=1\).
Exemplo:
Considere lançamentos independentes de um dado justo, com \(X_i\in\{1,2,3,4,5,6\}\) e esperança \(\mu=3.5\).
A média amostral é \(\displaystyle \bar X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\).
Para pequenos n a média pode variar, mas ao aumentar n (por exemplo, \(n=10\) → \(n=1000\)) observa-se que \(\bar X_n\) se aproxima de 3.5, ilustrando a Lei dos Grandes Números.
Veja como foi cobrado:
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