Como se obtêm os vetores \(\vec v(t)\) e \(\vec r(t)\) a partir de uma aceleração vetorial \(\vec a(t)\) dependente do tempo e de condições iniciais?

Integra-se \(\vec a(t)\) em relação a \(t\) para obter \(\vec v(t)\) (adicionando \(\vec v_0\)); depois integra-se \(\vec v(t)\) para obter \(\vec r(t)\) (adicionando \(\vec r_0\)).

Detalhamento:
Passo 1: \( \displaystyle \vec v(t)=\vec v_0+\int_{0}^{t}\vec a(\tau)\,d\tau\).
Passo 2: \( \displaystyle \vec r(t)=\vec r_0+\int_{0}^{t}\vec v(\tau)\,d\tau\).

Exemplo:
Considere \( \vec a(t)=4t\,\hat i-2\,\hat j+3t^2\,\hat k\), \(\vec v_0=2\,\hat i+0\,\hat j+1\,\hat k\), \(\vec r_0=1\,\hat i+2\,\hat j+0\,\hat k\).
Integrando: \( \displaystyle \int 4t\,dt=2t^2,\;\int -2\,dt=-2t,\;\int 3t^2\,dt=t^3\).
Então \( \displaystyle \vec v(t)=(2+2t^2)\,\hat i+(-2t)\,\hat j+(1+t^3)\,\hat k.\)
Agora integrar \(\vec v(t)\): \( \displaystyle \int(2+2t^2)dt=2t+\tfrac{2}{3}t^3,\;\int(-2t)dt=-t^2,\;\int(1+t^3)dt=t+\tfrac{1}{4}t^4.\)
Logo \( \displaystyle \vec r(t)=\big(1+2t+\tfrac{2}{3}t^3\big)\hat i+\big(2-t^2\big)\hat j+\big(t+\tfrac{1}{4}t^4\big)\hat k.\)
Ex.: para \(t=2\) s, \( \vec r(2)=\big(1+4+\tfrac{16}{3}\big)\hat i+(2-4)\hat j+(2+4)\hat k\approx 10{,}33\,\hat i-2\,\hat j+6\,\hat k\).