O que ocorre com a velocidade de um corpo quando a resistência do ar é proporcional à velocidade e qual a expressão da velocidade terminal em função de m, g e b?

A velocidade tende a uma constante: \(v_t=\dfrac{mg}{b}\).

Explicação:
A equação do movimento é \(m\frac{dv}{dt}=mg-bv\).
A solução é \(v(t)=\dfrac{mg}{b}\left(1-e^{-bt/m}\right)\), que converge para \(v_t=\dfrac{mg}{b}\) quando \(t\to\infty\).

Exemplo:
Considere um barco com força motriz constante \(F\) e resistência proporcional à velocidade. A equação é \(m\frac{dv}{dt}=F-bv\).
Solução: \(v(t)=\dfrac{F}{b}\left(1-e^{-bt/m}\right)\), com velocidade terminal \(v_t=\dfrac{F}{b}\).
Se \(m=200\ \mathrm{kg}\), \(F=600\ \mathrm{N}\) e \(b=30\ \mathrm{N\cdot s/m}\), então \(v_t=\dfrac{600}{30}=20\ \mathrm{m/s}\).