Como se aplicam a conservação do momento angular e da energia para determinar o apoastro de um corpo que recebe instantaneamente uma componente radial de velocidade?

Aplicando conservação do momento angular (v_t r = v_a r_max) e da energia específica \(E=\tfrac{v^2}{2}-\tfrac{GM}{r}\), e resolvendo essas duas equações para \(r_{\max}\).

Explicação completa:
Passos essenciais:
1) Separe a velocidade inicial em componentes tangencial \(v_t\) e radial \(v_r\).
2) Momento angular conservado: \(v_t r_0 = v_a r_{\max}\), pois em apoastro a velocidade é puramente tangencial \(v_a\).
3) Energia constante: \(-\dfrac{GM}{r_{\max}}+\dfrac{v_a^2}{2}=-\dfrac{GM}{r_0}+\dfrac{v_t^2+v_r^2}{2}\).
4) Substitua \(v_a\) da conservação do momento angular na equação de energia e resolva para \(r_{\max}\).

exemplo — Corpo em órbita circular de raio \(r_0\) com velocidade tangencial \(v_0=\sqrt{GM/r_0}\). Suponha que recebe instantaneamente uma velocidade radial para fora igual a \(v_r=v_0\).
\( \)
Velocidade total inicial: \(u^2=v_0^2+v_r^2=2v_0^2\).
Energia específica inicial: \(E=-\dfrac{GM}{r_0}+\dfrac{u^2}{2}=-\dfrac{GM}{r_0}+\dfrac{2v_0^2}{2}=-\dfrac{GM}{r_0}+v_0^2=0\) (pois \(v_0^2=GM/r_0\)).
Como \(E=0\) a trajetória é parabólica e o apoastro tende a \(r_{\max}\to\infty\) (escapamento).
Isso ilustra como, procedendo com as duas leis conservadas, se determina se o apoastro é finito e qual seu valor solucionando as equações acima.