Como se calcula a coordenada do centro de massa de um arco circular uniforme usando simetria e parametrização angular?

Usando simetria e a integral \(y_{CM}=\dfrac{1}{M}\int y\,dm\) com \(dm=\lambda R\,d\theta\).

Explicação:
Identifica-se o eixo pelo princípio da simetria.
Parametriza-se o arco por \(\theta\) (de \(\alpha\) a \(\beta\)).
Usa-se \(dm=\lambda R\,d\theta\) e \(y=R\sin\theta\) (ou \(x=R\cos\theta\) conforme a coordenada).
Como \(M=\lambda R(\beta-\alpha)=\lambda R\theta_0\), obtém-se a fórmula geral
\(\displaystyle y_{CM}=\dfrac{R}{\theta_0}\int_{\alpha}^{\beta}\sin\theta\,d\theta\).
Analogamente para \(x_{CM}\) com \(\cos\theta\).

exemplo:
Arco de quarto de círculo (ângulo \(\theta_0=\tfrac{\pi}{2}\)) de \(\theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]\).
\(\displaystyle y_{CM}=\dfrac{R}{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=\dfrac{2R}{\pi}\big[-\cos\theta\big]_0^{\pi/2}=\dfrac{2R}{\pi}\).