Flashcard FC284156
Como expressar \(\cos^2\theta\,\sin^2\theta\) em função de \(\cos(4\theta)\) usando identidades trigonométricas?
Ótica
IDECAN · 2022
Como expressar \(\cos^2\theta\,\sin^2\theta\) em função de \(\cos(4\theta)\) usando identidades trigonométricas?
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Resposta
\(\cos^2\theta\sin^2\theta=\dfrac{1}{8}\bigl(1-\cos(4\theta)\bigr)\)Partindo de \(\cos^2\theta\sin^2\theta=\tfrac{1}{4}\sin^2(2\theta)\) e aplicando \(\sin^2\phi=\tfrac{1-\cos(2\phi)}{2}\) com \(\phi=2\theta\) obtém-se
\(\cos^2\theta\sin^2\theta=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1-\cos(4\theta)}{2}=\dfrac{1}{8}\bigl(1-\cos(4\theta)\bigr)\).
Exemplo:
Calcule para \(\theta=15^\circ\):
\(\cos^2(15^\circ)\sin^2(15^\circ)=\dfrac{1}{8}\bigl(1-\cos(60^\circ)\bigr)=\dfrac{1}{8}\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)=\dfrac{1}{16}\).
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