Como calcular a resistência equivalente de resistores em paralelo e usar relações de proporção entre eles para encontrar uma resistência incógnita?

Pelo somatório dos recíprocos: \( \dfrac{1}{R_{eq}}=\sum_i \dfrac{1}{R_i}\); igualando ao valor conhecido e substituindo cada \(R_i\) pelas suas proporções resolve-se a incógnita. Em série, soma-se diretamente: \(R_{eq}=\sum_i R_i\).

Explicação e procedimento:
Expressa cada resistência como múltiplo de uma incógnita comum (ex.: \(R_i=k_iR\)). Substitui em \( \dfrac{1}{R_{eq}}=\sum \dfrac{1}{k_iR}=\dfrac{1}{R}\sum \dfrac{1}{k_i}\). Resolve para \(R\) por meio de \(R=\dfrac{1}{R_{eq}\sum(1/k_i)}\).

Exemplo:
Considere três resistores em paralelo: \(R,\;3R,\;9R\) e \(R_{eq}=0{,}5\ \Omega\).
Calcule: \(\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{3R}+\dfrac{1}{9R}=\dfrac{1+1/3+1/9}{R}=\dfrac{13}{9R}\).
Logo \(R=\dfrac{13}{9}\,R_{eq}=\dfrac{13}{9}\times 0{,}5\approx 0{,}7222\ \Omega\).
Se os mesmos resistores fossem em série, \(R_{eq,\;série}=R+3R+9R=13R\approx 13\times 0{,}7222\approx 9{,}3889\ \Omega\).