Por que a atenuação de um feixe colimado e o decaimento radioativo obedecem a leis exponenciais?

Porque a probabilidade de interação ou de decaimento é constante por unidade de caminho ou de tempo, fazendo a grandeza decair proporcionalmente ao seu valor atual.

Explicação:
A hipótese de probabilidade constante leva à equação diferencial proporcional:
- Para intensidade em função da distância: \( \dfrac{dI}{dx}=-\Sigma I \) → \( I(x)=I_0 e^{-\Sigma x} \).
- Para núcleos em função do tempo: \( \dfrac{dN}{dt}=-\lambda N \) → \( N(t)=N_0 e^{-\lambda t} \).
Aqui, \( \Sigma \) é a secção macroscópica (probabilidade por unidade de comprimento) e \( \lambda \) é a constante de decaimento (probabilidade por unidade de tempo).

exemplo:
Considere Carbono‑14 com meia‑vida \(t_{1/2}=5730\) anos. Primeiro calcule \( \lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} \):
\( \lambda=\dfrac{\ln 2}{5730}\approx 1{,}2097\times10^{-4}\ \text{ano}^{-1} \).
Fraçã remaining after 1000 years:
\( \dfrac{N(1000)}{N_0}=e^{-\lambda\cdot1000}=e^{-0{,}12097}\approx0{,}886 \) → cerca de 88,6% dos átomos permanecem.