Como se monta a integral usando superposição e integração em anéis para calcular a taxa de exposição no eixo de uma fonte superficial circular com densidade superficial uniforme?

Usa-se dX = Γ·ρ_s·dS / r'^2 com dS = 2πr dr e r' = √(r^2 + d^2); integrar r de 0 a R.

Explicação:
Partindo da superposição, para um elemento de área \(dS\) tem‑se \(dX=\Gamma\,\dfrac{\rho_s\,dS}{r'^2}\) com \(r'=\sqrt{r^2+d^2}\). Ao integrar em anéis circulares \(dS=2\pi r\,dr\) obtemos
\(X=\Gamma\,\rho_s\int_{0}^{R}\dfrac{2\pi r\,dr}{r^2+d^2}=\Gamma\,\rho_s\pi\ln\!\left(\dfrac{R^2+d^2}{d^2}\right).\)

Exemplo:
Fonte anelar entre raios \(a\) e \(b\) (mesma densidade superficial). Aplicando o mesmo procedimento:
\(X=\Gamma\,\rho_s\int_{a}^{b}\dfrac{2\pi r\,dr}{r^2+d^2}=\Gamma\,\rho_s\pi\ln\!\left(\dfrac{b^2+d^2}{a^2+d^2}\right).\)
Por exemplo, com \(\Gamma=1\), \(\rho_s=1\), \(a=1\) m, \(b=2\) m e \(d=1\) m:
\(X=\pi\ln\!\left(\dfrac{2^2+1^2}{1^2+1^2}\right)=\pi\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right)\approx 2{,}878.\)