O que provoca a desintegração beta e por que os elétrons emitidos apresentam espectro contínuo?

Devido ao excesso de prótons ou nêutrons no núcleo; a energia é compartilhada com o neutrino, por isso o espectro é contínuo.

Explicação:
A desintegração beta ocorre quando um nuclídeo com excesso de nêutrons emite um elétron e um antineutrino (beta–) convertendo um nêutron em próton, ou quando há excesso de prótons ocorre emissão de pósitron e neutrino (beta+) ou captura eletrônica.
A energia liberada (Q) não vai toda para o elétron/pósitron: é partilhada entre a partícula beta, o neutrino e o recoíl do núcleo, por isso a energia do elétron varia e forma um espectro contínuo.
Fórmula de conservação de energia:
\(Q = E_{e^{\pm}} + E_{\nu} + E_{\text{recuo}}\).

Exemplo:
Flúor-18 (uso em PET): \(^{18}\mathrm{F}\to\,^{18}\mathrm{O}+e^{+}+\nu_e\).
Nesse decaimento o pósitron pode sair com diferentes energias porque parte de Q é levada pelo neutrino, produzindo o espectro contínuo observado.