Por que o espectro de energia das partículas beta é contínuo?

Porque no decaimento beta a energia é repartida entre o elétron (ou pósitron) e o nêutrino, permitindo variação contínua da energia do elétron.

Explicação:
No decaimento beta há três corpos finais: núcleo-filho + elétron + nêutrino. Pela conservação de energia e momento a energia liberada \(Q\) pode ser distribuída de forma contínua entre o elétron e o nêutrino, gerando um espectro contínuo para a energia do elétron

Exemplo:
No decaimento do múon em repouso: \(\mu^- \to e^- + \nu_\mu + \bar{\nu}_e\). A energia disponível satisfaz \(Q = E_e + E_{\nu_1} + E_{\nu_2}\), com \(E_e\) variando de ~0 até um valor de extremidade.
O valor máximo aproximado da energia do elétron é dado por \(E_{e,\max}=\dfrac{m_\mu^2+m_e^2}{2m_\mu}\). Substituindo \(m_\mu\approx105{,}66\ \text{MeV}\) e \(m_e\approx0{,}511\ \text{MeV}\):
\(E_{e,\max}\approx\dfrac{(105{,}66)^2+(0{,}511)^2}{2\cdot105{,}66}\approx52{,}8\ \text{MeV}\).
Assim, como os neutrinos podem carregar diferentes frações da energia, o espectro do elétron é contínuo.