Qual é a negação lógica de \( \forall x\,(P(x)\to Q(x))\)?

\( \exists x\,(P(x)\land\neg Q(x))\)

Justificativa:
Usamos \( \neg\forall x\,\Phi(x)\equiv\exists x\,\neg\Phi(x)\).
Assim \( \neg\forall x\,(P(x)\to Q(x))\equiv\exists x\,\neg(P(x)\to Q(x))\).
Como \( \neg(p\to q)\equiv p\land\neg q\), obtemos \( \exists x\,(P(x)\land\neg Q(x))\).

Exemplo:
Afirmação: "Todo número par é divisível por 2":
\( \forall n\,(Even(n)\to Div2(n))\).
Sua negação: \( \exists n\,(Even(n)\land\neg Div2(n))\), isto é, "Existe um número par que não é divisível por 2".