Dadas as premissas p ∨ q, q → r e ¬r, por que se conclui que ¬p → r?

Porque: de q → r e ¬r segue ¬q (modus tollens). Com ¬q e p ∨ q segue p. Assim, em toda valoração que satisfaz as premissas p é verdadeira, logo ¬p é falsa e o condicional ¬p → r é verdadeiro (condicional com antecedente falso é verdadeiro).

Explicação detalhada:
1) q → r e ¬r ⇒ ¬q (aplicando modus tollens).
2) p ∨ q e ¬q ⇒ p (eliminação da disjunção).
3) Logo, em todas as situações em que as premissas são verdadeiras, p é verdadeira, tornando ¬p falsa; assim ¬p → r é automaticamente verdadeira nessas situações, portanto é consequência lógica das premissas.

Exemplo:
Considere:

p: Usuário entrou com senha;
q: Usuário foi autorizado pelo administrador;
r: Acesso ao sistema é concedido.

Premissas: p ∨ q (ou senha ou autorização), q → r (se autorizado então acesso), e ¬r (acesso não foi concedido).
Pelo mesmo raciocínio: de q → r e ¬r vem ¬q; com ¬q e p ∨ q vem p. Assim ¬p é falso nas valorações que satisfazem as premissas, então ¬p → r é verdadeiro nessas valorações — logo ¬p → r é consequência lógica das premissas.