Dadas as premissas \(Y\to X\) e \(Z\to(Y\land\neg X)\), como se deduz \(\neg Z\) e por que então \(Y\to\neg Z\) é válido?

De \((Y\to X)\) e \((Z\to(Y\land\neg X))\) segue \(\neg Z\); logo \(Y\to\neg Z\) é verdadeiro.

Explicação:
1) \(Y\to X\) equivale a \(\neg Y\lor X\).
2) A contrapositiva de \(Z\to(Y\land\neg X)\) é \(\neg(Y\land\neg X)\to\neg Z\), que é \((\neg Y\lor X)\to\neg Z\).
3) Como \(\neg Y\lor X\) é verdadeiro (de 1) e \((\neg Y\lor X)\to\neg Z\) é dado (de 2), por modus ponens obtemos \(\neg Z\).
4) Se \(\neg Z\) é verdadeiro, qualquer condicional com consequente \(\neg Z\), em particular \(Y\to\neg Z\), é verdadeiro (um condicional com consequentemente verdadeiro é verdadeiro).

exemplo:
Considere:
\(X\): "a luz está acesa",
\(Y\): "o sensor detectou movimento",
\(Z\): "o sistema está em modo de teste".
Premissas: \(Y\to X\) (se o sensor detecta, a luz acende) e \(Z\to(Y\land\neg X)\) (se está em modo de teste, o sensor sinaliza mas a luz não acende).
Da contraposição obtemos \((\neg Y\lor X)\to\neg Z\). Como \(\neg Y\lor X\) decorre de \(Y\to X\), concluímos \(\neg Z\): o sistema não pode estar em modo de teste. Assim, \(Y\to\neg Z\) é verdadeiro porque \(\neg Z\) já é verdadeiro.