Qual é a contrapositiva de "Se P então Q" e por que, se \(P\to Q\), Q é condição necessária para P?

\( \lnot Q \to \lnot P \).

\(P\to Q\) significa que sempre que P ocorre, Q ocorre; portanto Q é um requisito que deve acontecer sempre que P ocorre, ou seja, Q é condição necessária para P.
Além disso, a contrapositiva preserva a validade: \(P\to Q\) é logicamente equivalente a \(\lnot Q\to\lnot P\).

Exemplo:
Se ligar o interruptor, então a lâmpada acende.
Formalmente: \(I\to L\).
A contrapositiva é: \(\lnot L\to\lnot I\).
Logo, segundo a implicação dada, L (lâmpada acesa) é condição necessária para I (interruptor ligado).