Qual é a contrapositiva de "se A então B" e como ela permite encadear implicações?

Resposta

Contrapositiva: a contrapositiva de \(A\to B\) é \(\neg B\to\neg A\).
Aplicando contrapositiva a uma premissa e combinando com outra implicação, pode-se obter um encadeamento \(A\to B\to C\) e, portanto, \(A\to C\).

Explicação completa:
A contrapositiva troca e nega termos: de \(A\to B\) vem \(\neg B\to\neg A\).
Se tivermos, por exemplo, \(\neg C\to\neg B\), sua contrapositiva é \(B\to C\).
Se além disso existe \(A\to B\), então pelo encadeamento obtemos \(A\to B\to C\), isto é, \(A\to C\).
Com isso, qualquer propriedade que implique \(C\) é incompatível com algo que implique \(\neg C\).

Exemplo:
Premissas:
1) \(A\to B\) — Se estuda, então passa no exame.
2) \(\neg C\to\neg B\) — Se não consegue bolsa, então não passa no exame.
Contrapositiva da (2): \(B\to C\) — Se passa no exame, então consegue bolsa.
Encadeando com (1): \(A\to B\to C\), logo \(A\to C\) — Se estuda, então consegue bolsa.
Assim, é impossível alguém ser simultaneamente \(A\) e \(\neg C\) (por exemplo, não pode "estudar" e "não conseguir bolsa").