Qual é a negação lógica de uma proposição universal da forma \( \forall x\,(P(x)\rightarrow \neg Q(x))\)?

Resposta

∃x (P(x) ∧ Q(x))

Negar uma universal transforma-a em existencial: \( \neg\forall x\,\phi(x)\equiv \exists x\,\neg\phi(x)\). Aplicando aqui: \( \neg\forall x\,(P(x)\rightarrow \neg Q(x))\equiv \exists x\,\neg(P(x)\rightarrow \neg Q(x))\equiv \exists x\,(P(x)\land Q(x))\).

Exemplo:
Afirmação: “Nenhum estudante foi aprovado” formalizada como \( \forall x\,(E(x)\rightarrow \neg A(x))\), com \(E(x)\)="x é estudante" e \(A(x)\)="x foi aprovado".
Sua negação é \( \exists x\,(E(x)\land A(x))\): “Há pelo menos um estudante aprovado”.