Como determinar o menor n∈N tal que o n-ésimo termo de uma progressão aritmética B seja maior que o n-ésimo termo de outra progressão aritmética A?

Resposta

Calcule os termos gerais \(a_n=a_1+(n-1)r_a\) e \(b_n=b_1+(n-1)r_b\), resolva a desigualdade \(b_n>a_n\) e escolha o menor inteiro \(n\) que a satisfaz.

Explicação:
Escreva \(a_n=a_1+(n-1)r_a\) e \(b_n=b_1+(n-1)r_b\).
Forme \(b_1+(n-1)r_b>a_1+(n-1)r_a\), simplifique para isolar \(n\) e obtenha uma desigualdade do tipo \(n>X\).
Como \(n\) é natural, o menor \(n\) que satisfaz é o menor inteiro maior que \(X\) (arredonde para cima).

Exemplo:
Se \(a_1=40,\;r_a=4\) e \(b_1=5,\;r_b=7\):
\(a_n=40+4(n-1)=36+4n\)
\(b_n=5+7(n-1)=-2+7n\)
Resolva \(-2+7n>36+4n\):
\(3n>38\Rightarrow n>\tfrac{38}{3}\approx12{,}67\).
Logo o menor \(n\in\mathbb{N}\) é \(n=13\).