Se as diferenças entre termos consecutivos formam uma PA de razão r, como se calcula o n-ésimo termo a partir do primeiro termo?

Resposta:
\(t_n = t_1 + \dfrac{(2d_1+(n-2)r)(n-1)}{2}\)

Explicação:
Se os incrementos entre termos são \(d_1,d_2,\dots\) e formam uma PA de razão \(r\), então \(d_{k}=d_1+(k-1)r\).
O termo \(t_n\) obtém-se somando ao primeiro termo \(t_1\) a soma dos \(n-1\) primeiros incrementos: \(t_n=t_1+\sum_{k=1}^{n-1}d_k\).
Usando a fórmula da soma de uma PA: \(\sum_{k=1}^{n-1}d_k=\dfrac{(d_1+d_{n-1})(n-1)}{2}\) com \(d_{n-1}=d_1+(n-2)r\), chega-se à fórmula acima.

Exemplo:
Dado \(t_1=3\), \(d_1=4\) e \(r=3\). Calcular \(t_6\).
Primeiro calcule \(d_5=d_1+(5-1)r=4+4\cdot3=16\).
Soma dos 5 primeiros incrementos: \(\displaystyle S_5=\frac{(d_1+d_5)\cdot5}{2}=\frac{(4+16)\cdot5}{2}=50\).
Logo \(t_6=t_1+S_5=3+50=53\).