Se uma sequência recursiva entra em um ciclo de comprimento m, como determinar qual é o n-ésimo termo?

Resposta:

Identifique o ciclo de comprimento m e use a congruência n ≡ r (mod m); o n-ésimo termo é o r-ésimo termo do ciclo (com r em 1..m).

Explicação e exemplo:
1) Encontre os termos até repetir um termo inicial, obtendo o ciclo de comprimento m.
2) Calcule o resto r de dividir n por m (se r = 0, considerar r = m).
3) O n-ésimo termo é o r-ésimo termo do ciclo.

Exemplo:
Considere a regra: se x é par → \(x/2\); se x é ímpar → \(x+5\).
Começando em 5: 5 → 10 → 5 → 10 …
Logo o ciclo é (5,10) de comprimento \(m=2\).
Para o 7º termo: \(7\equiv1\pmod{2}\), então o 7º termo é o 1º do ciclo = 5.