Como usar o resto da divisão por n para achar a posição inicial em um ciclo de n pontos após vários movimentos?

Calcule o resto r = total mod n; a posição inicial é r passos no sentido oposto ao movimento a partir da posição final.

Explicação e exemplo:
Se há n pontos, cada n movimentos formam um ciclo completo e retornam à posição inicial. Faça a divisão: total = n·q + r. Os q ciclos cancelam‑se; restam r movimentos. Portanto, a posição inicial é a posição que, ao avançar r passos no sentido do movimento, chega à posição final — isto é, é r passos no sentido inverso a partir da final.

Exemplo: 8 pontos em ordem anti‑horária: A, B, C, D, E, F, G, H. Após 123 movimentos a posição final é D.

Cálculo: \(123 \div 8 = 15\) resto \(3\).
Logo, sobraram \(r=3\) movimentos a partir da inicial até D. Portanto a inicial é 3 passos no sentido contrário (horário) a partir de D:
D → C (1) → B (2) → A (3).
Assim, a posição inicial foi A.