Em distribuição de N objetos em m recipientes, qual condição pelo Princípio da Casa dos Pombos garante que exista ao menos um recipiente com pelo menos k+1 objetos?

Resposta

Se \(N>m\cdot k\), então existe ao menos um recipiente com \(\ge k+1\) itens.

Se cada recipiente tivesse no máximo \(k\) itens, o total máximo seria \(m\cdot k\). Assim, se \(N>m\cdot k\) essa hipótese é contradita e alguma caixa deve conter pelo menos \(k+1\) itens.

Distribuindo 50 maçãs em 8 cestas: \(50\div 8=6\) resto \(2\). Logo cada cesta teria 6 e sobrariam 2 maçãs, o que implica que existem cestas com \(6+1=7\) maçãs.
Ou usando a condição: \(N=50\), \(m=8\), \(k=6\) e \(50>8\cdot6=48\), portanto existe ao menos uma cesta com \(\ge7\) maçãs.