Como contar todos os quadrados em uma figura quadriculada, incluindo tamanhos e orientações?

Contando por tamanho e posição; some os quadrados alinhados por cada dimensão e conte os inclinados separadamente.

Conte primeiro os quadrados alinhados (por cada lado k): \( \sum_{k=1}^{n}(n-k+1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) para um grid n×n, depois verifique e some quadrados inclinados (losangos) formados por vértices nos pontos da grade.

exemplo:
Considere um bloco de \(2\times2\) quadradinhos: unidades = \(4\), quadrado \(2\times2\) = \(1\). Há ainda um quadrado inclinado formado pelos pontos \((1,0),(2,1),(1,2),(0,1)\) = \(1\).
Cálculo: \(4 + 1 + 1 = 6\) quadrados no total.