Se N itens são distribuídos em M grupos e a média N/M é maior que k, o que se pode afirmar sobre pelo menos um grupo, considerando quantidades inteiras?

Existe pelo menos um grupo com mais de k itens.

Suponha, por absurdo, que nenhum grupo tenha mais de k itens, isto é, todos tenham ≤ k. Então o total seria ≤ \(M\times k\). Mas como \(N/M>k\), temos \(N>M\times k\), gerando contradição. Logo, algum grupo deve ter > k itens.

Exemplo:
Há 53 alunos distribuídos em 4 turmas. A média é \(53/4=13{,}25\). Se cada turma tivesse ≤13 alunos, o total seria ≤ \(4\times13=52\), contradizendo 53. Portanto, existe pelo menos uma turma com >13 alunos.