Flashcard FC311835
Qual procedimento aplicar para determinar a imagem de \(f(x)=\dfrac{a}{x}+b\) quando \(x\) varia num intervalo que exclui \(0\)?
Conjuntos
VUNESP · 2017
Qual procedimento aplicar para determinar a imagem de \(f(x)=\dfrac{a}{x}+b\) quando \(x\) varia num intervalo que exclui \(0\)?
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Resposta
Dividir o domínio em partes separadas por 0 (se presente), usar que \(1/x\) é estritamente decrescente em cada lado de 0 (logo \(a/x\) tem monotonicidade conforme o sinal de \(a\)), calcular valores nas extremidades de cada subintervalo e os limites em direção a 0, e unir os intervalos obtidos.Explicação:
1) Separe o intervalo original em subintervalos em que \(x>0\) e \(x<0\).
2) Observe que \(\dfrac{1}{x}\) é decrescente em \((-\infty,0)\) e em \((0,\infty)\); portanto \(\dfrac{a}{x}+b\) é monotônica em cada subintervalo (decrescente se \(a>0\), crescente se \(a<0\)).
3) Em cada subintervalo, avalie \(f\) nas extremidades e calcule os limites quando \(x\to0^\pm\) se 0 é fronteira; isso dá o intervalo imagem nessa parte.
4) A imagem total é a união desses intervalos parciais.
Exemplo:
Seja \(f(x)=\dfrac{3}{x}+2\) com \(x\in[-6,4]\), \(x\ne0\).
Para \(x\in[-6,0)\): \(f(-6)=\dfrac{3}{-6}+2=1{,}5\) e \(\lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty\). Como \(3/x+2\) é decrescente aí, a imagem é \((-\infty,1{,}5]\).
Para \(x\in(0,4]\): \(f(4)=\dfrac{3}{4}+2=2{,}75\) e \(\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\). Como é decrescente em \(x>0\), a imagem é \([2{,}75,+\infty)\).
União das partes: \((-\infty,1{,}5]\cup[2{,}75,+\infty)\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/311615
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