Qual é a relação entre m e n para que as áreas de um triângulo equilátero (lado m) e de um quadrado (diagonal n) sejam iguais?

\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}m^2=\dfrac{n^2}{2}\)

Justificação:
Área do triângulo equilátero: \(T=\dfrac{\sqrt{3}}{4}m^2\).
Área do quadrado em função da diagonal: \(Q=\dfrac{n^2}{2}\).
Igualando \(T\) e \(Q\) obtém-se \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}m^2=\dfrac{n^2}{2}\).
Isolando \(n\): \(n=m\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\).
Isolando \(m\): \(m=n\sqrt{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}\).

Exemplo:
Se \(m=2\): \(T=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4=\sqrt{3}\).
Então \(n^2=2\sqrt{3}\Rightarrow n=\sqrt{2\sqrt{3}}\approx 1,861\).
Verificação: \(Q=\dfrac{n^2}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}=T\).