Flashcard FC311848
Se a é real positivo irracional e q é racional, o que se pode afirmar sobre √a e sobre √a − q?
Conjuntos
VUNESP · 2008
Se a é real positivo irracional e q é racional, o que se pode afirmar sobre √a e sobre √a − q?
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Resposta
√a é irracional e √a − q é irracional.Suporte:
Assuma por contradição que \( \sqrt{a}=\tfrac{p}{q}\in\mathbb{Q} \). Então \( a=(\tfrac{p}{q})^2\in\mathbb{Q} \), contradizendo que a é irracional; logo \( \sqrt{a}\notin\mathbb{Q} \).
Se \( \sqrt{a}-q = r\in\mathbb{Q} \) então \( \sqrt{a}=r+q\in\mathbb{Q} \), contradição; portanto \( \sqrt{a}-q\notin\mathbb{Q} \).
exemplo:
Considere \( a=2 \) e \( q=1 \). Sabemos que \( \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \). Logo \( \sqrt{2}-1 \) também é irracional. Numericamente, \( \sqrt{2}\approx1{,}4142 \) e \( \sqrt{2}-1\approx0{,}4142 \), mostrando que é positivo e menor que 1.
Veja como foi cobrado:
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