Flashcard FC312416
Quando ocorre igualdade em \( \sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b} \) para \(a,b\ge0\)?
Conjuntos
VUNESP · 2025
Quando ocorre igualdade em \( \sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b} \) para \(a,b\ge0\)?
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Resposta
Somente quando \(ab=0\) (ou seja, \(a=0\) ou \(b=0\)).Explicação:
Supondo igualdade e elevando ao quadrado: \(a+b = (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}\).
Assim \(2\sqrt{ab}=0\Rightarrow\sqrt{ab}=0\Rightarrow ab=0\).
Logo, se \(a>0\) e \(b>0\) a igualdade não ocorre e tem-se a desigualdade estrita.
Exemplo:
\(a=2,\; b=3:\; \sqrt{5}\approx2{,}236 < \sqrt{2}+\sqrt{3}\approx3{,}146.\)
\(a=0,\; b=9:\; \sqrt{9}=3 = \sqrt{0}+\sqrt{9}=0+3.\)
Veja como foi cobrado:
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