Como se determina a imagem de uma função da forma f(x)=c/x + d em um intervalo que exclui 0?

Usando monotonicidade em cada semirreta e limites laterais em 0.

Explicação:
Estuda-se separadamente os ramos x<0 e x>0, pois há descontinuidade em 0.
Calcula-se a derivada \(f'(x)=-\dfrac{c}{x^{2}}\): se \(c>0\), então \(f'<0\) em ambos os ramos (função decrescente em cada semirreta).
Em cada ramo, o extremo sobre o intervalo ocorre nas extremidades acessíveis; perto de 0 usa-se o limite lateral (\(\to\pm\infty\)).

exemplo:
Considere \(f(x)=\dfrac{3}{x}+1\) em \([-5,4]\setminus\{0\}\).
Derivada: \(f'(x)=-\dfrac{3}{x^{2}}<0\), logo decrescente em cada semirreta.
Para \(x\in[-5,0)\): maior valor em \(x=-5\): \(f(-5)= -\tfrac{3}{5}+1=\tfrac{2}{5}\). Ao aproximar-se de 0 pela esquerda, \(f(x)\to -\infty\). Assim a imagem desse ramo é \((-\infty,\tfrac{2}{5}]\).
Para \(x\in(0,4]\): menor valor em \(x=4\): \(f(4)=\tfrac{3}{4}+1=\tfrac{7}{4}\). Ao aproximar-se de 0 pela direita, \(f(x)\to +\infty\). Assim a imagem desse ramo é \([\tfrac{7}{4},+\infty)\).
Unindo: imagem total \( (-\infty,\tfrac{2}{5}] \cup [\tfrac{7}{4},+\infty)\).