Se x ≤ y e x,y ∈ Q, em que condição vale necessariamente x^2 ≤ y^2?

Quando ambos são racionais não negativos.

Porque se \(0\le x\le y\) então
\(y^2-x^2=(y-x)(y+x)\ge 0\), pois \(y-x\ge0\) e \(y+x\ge0\). Logo \(x^2\le y^2\).

Exemplo:
Seja \(x=\tfrac{1}{3}\) e \(y=\tfrac{4}{3}\). Então
\(y^2-x^2=(\tfrac{4}{3})^2-(\tfrac{1}{3})^2=(\tfrac{4}{3}-\tfrac{1}{3})(\tfrac{4}{3}+\tfrac{1}{3})=(1)\cdot(\tfrac{5}{3})=\tfrac{5}{3}>0\),
logo \(x^2=\tfrac{1}{9}\le\tfrac{16}{9}=y^2\).