Flashcard FC312442
Se a>0 é irracional, \(\sqrt{a}\) é irracional? E, se x é irracional e r é racional, o que se pode afirmar sobre x−r?
Conjuntos
VUNESP · 2008
Se a>0 é irracional, \(\sqrt{a}\) é irracional? E, se x é irracional e r é racional, o que se pode afirmar sobre x−r?
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Resposta
Sim; \(\sqrt{a}\) é irracional, e \(x-r\) é irracional.Explicação:
Se \(a>0\) e \(\sqrt{a}\) fosse racional, então \(a=(\sqrt{a})^2\) seria racional, contradizendo a hipótese. Logo \(\sqrt{a}\notin\mathbb{Q}\).
Se \(x\notin\mathbb{Q}\) e \(r\in\mathbb{Q}\), suponha \(x-r\in\mathbb{Q}\). Então \(x=(x-r)+r\) seria soma de racionais, hence racional — contradição. Assim \(x-r\notin\mathbb{Q}\).
Exemplo:
Tomando \(a=2\): sabe-se que \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\).
Se \(\sqrt{2}-1\) fosse racional, então \(\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)+1\) seria racional, absurdo. Portanto \(\sqrt{2}-1\) é irracional.
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