Como determinar a condição para que duas funções afim comutem pela composição?

Igualar f∘g e g∘f e comparar termos constantes; resolver para o parâmetro.

Sejam \(f(x)=a_1x+b_1\) e \(g(x)=a_2x+b_2\).
\(f(g(x))=a_1a_2x+a_1b_2+b_1\)
\(g(f(x))=a_2a_1x+a_2b_1+b_2\)
Como \(a_1a_2=a_2a_1\), basta igualar as partes constantes:
\(a_1b_2+b_1=a_2b_1+b_2\) e resolver para o parâmetro desejado.

Exemplo:
Se \(f(x)=3x+2\) e \(g(x)=kx+1\):
\(f(g(x))=3(kx+1)+2=3kx+5\)
\(g(f(x))=k(3x+2)+1=3kx+2k+1\)
Igualando constantes: \(5=2k+1\) → \(2k=4\) → \(k=2\).