Como se obtém a negação lógica de uma proposição com quantificador universal?

Negando o quantificador universal: \( \neg\forall x\,P(x)\equiv\exists x\,\neg P(x)\).

Explicação:
Em geral, a negação de \(\forall x\,P(x)\) troca o quantificador universal por um existencial e nega a propriedade: \(\neg\forall x\,P(x)\equiv\exists x\,\neg P(x)\).
Se a forma universal for condicional, \(\forall x\,(A(x)\rightarrow B(x))\), então sua negação é \(\exists x\,(A(x)\land\neg B(x))\), ou seja, existe um contraexemplo que satisfaz \(A(x)\) e não satisfaz \(B(x)\).

Exemplo:
Defina \(L(x)\): "x é livro" e \(B(x)\): "x está na biblioteca".
A proposição universal: \(\forall x\,(L(x)\rightarrow B(x))\) — "Todos os livros estão na biblioteca".
Sua negação: \(\exists x\,(L(x)\land\neg B(x))\) — "Existe pelo menos um livro que não está na biblioteca".