Se, entre N indivíduos, t têm uma certa característica, qual condição garante que todo grupo de m indivíduos contenha pelo menos um com essa característica?

Quando o número sem a característica for menor que m.

Explicação:
Se N é o total e t o número com a característica, então o número sem a característica é \(N-t\).
Para que qualquer grupo de tamanho \(m\) contenha pelo menos um com a característica, deve valer
\(N-t < m\)
Pois, se \(N-t < m\), é impossível formar um grupo de \(m\) pessoas apenas com os que não têm a característica; logo todo grupo de \(m\) terá pelo menos um que a possui.

Exemplo:
Considere 15 pessoas, das quais 5 têm um crachá azul. Então \(N=15\), \(t=5\) e \(N-t=10\).
Como \(10 < 11\), qualquer grupo de \(m=11\) pessoas conterá pelo menos uma com crachá azul — para formar um grupo de 11 sem crachá azul seria preciso escolher 11 entre 10, o que é impossível.