Flashcard FC367748
Que substituição transforma uma equação com termos do tipo 3^{x+k} em uma equação algébrica, e por que impor t>0?
Equações
Instituto Consulplan · 2024
Que substituição transforma uma equação com termos do tipo 3^{x+k} em uma equação algébrica, e por que impor t>0?
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Resposta
Use t=3^{x} (logo t>0); substitua 3^{x+k}=t·3^{k} e 3^{x-k}=t/3^{k}, resolva a equação em t e descarte raízes não positivas.Explicação:
Coloque t=3^{x} (então t>0).
Represente termos deslocados como multiplicações/divisões por potências de 3, por exemplo 3^{x-2}=t/9.
Substitua na equação e multiplique por t (ou potência de t) para eliminar denominadores, obtendo um polinômio em t.
Resolva esse polinômio, mantenha apenas as raízes positivas (pois t=3^{x}>0) e retro-substitua para obter x por igualdade de potências.
exemplo:
Resolver \(2^{x}-\dfrac{10}{2^{x-1}}+\dfrac{2^{x}}{4}=\dfrac{30}{2^{x-1}}\).
Faça \(u=2^{x}\) (então \(u>0\)). Note \(2^{x-1}=u/2\) e \(2^{x-2}=u/4\).
Substituindo: \(u-\dfrac{10}{u/2}+\dfrac{u}{4}=\dfrac{30}{u/2}\).
Simplificando: \(u-\dfrac{20}{u}+\dfrac{u}{4}=\dfrac{60}{u}\).
Multiplicando por \(u\): \(u^{2}+\dfrac{u^{2}}{4}-20=60\).
Logo \(\dfrac{5}{4}u^{2}=80\), então \(u^{2}=64\) e \(u=8\) (descartando raiz negativa).
Assim \(2^{x}=8\) implica \(x=3\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/364360
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