Como calcular o termo inicial S_0 a partir de S_k numa recorrência linear de 1ª ordem \(S_n = cS_{n-1}+d\)?

Aplicando a inversa da recorrência: \(S_{n-1}=\dfrac{S_n-d}{c}\) e iterando até obter \(S_0\).

Para \(S_n=cS_{n-1}+d\), invertem-se os termos: \(S_{n-1}=(S_n-d)/c\). Conhecendo \(S_k\), aplica-se essa fórmula repetidamente k vezes para encontrar \(S_0\).

exemplo
Considere a recorrência \(T_n=\tfrac{1}{3}T_{n-1}-200\) e queira-se o valor inicial que zera em 4 parcelas (\(T_4=0\)).
Inversa: \(T_{n-1}=3(T_n+200)\).
\(T_3=3(0+200)=600\)
\(T_2=3(600+200)=2400\)
\(T_1=3(2400+200)=7800\)
\(T_0=3(7800+200)=24000\)
Portanto, \(T_0=24000\).