Como determinar a1 e r de uma PA quando se conhece a soma de alguns termos e a diferença entre outros termos?

Montando e resolvendo um sistema de equações usando \(a_n=a_1+(n-1)r\).

Explicação:
1) Escreva cada termo conhecido por \(a_n=a_1+(n-1)r\).
2) A soma de termos gera uma equação linear em \(a_1\) e \(r\).
3) A diferença entre termos gera outra equação linear.
4) Resolva o sistema para obter \(a_1\) e \(r\).
5) Use \(a_1\) e \(r\) para calcular qualquer soma/termo desejado (por exemplo, \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\)).

Exemplo:
Considere uma PA tal que \(a_3+a_7=50\) e \(a_9-a_5=12\).
Usando \(a_n=a_1+(n-1)r\):
\(a_3+a_7=(a_1+2r)+(a_1+6r)=2a_1+8r=50\Rightarrow a_1+4r=25\).
\(a_9-a_5=(a_1+8r)-(a_1+4r)=4r=12\Rightarrow r=3\).
Substituindo: \(a_1+4\cdot3=25\Rightarrow a_1=13\).
Para a soma dos 6 primeiros termos: \(a_6=a_1+5r=13+15=28\).
\(S_6=\dfrac{6(a_1+a_6)}{2}=\dfrac{6(13+28)}{2}=3\cdot41=123\).