Como determinar o número de termos n de uma progressão aritmética sabendo o primeiro termo a1, a razão r e a soma total S_n?

Montar e resolver a equação quadrática obtida de \(S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a_1+(n-1)r\big)\)

Procedimento:
Substitua \(a_n=a_1+(n-1)r\) em \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\) e obtenha a equação em \(n\):
\(2S_n=r n^2+(2a_1-r)n\).
Resolva a quadrática \(r n^2+(2a_1-r)n-2S_n=0\) e escolha a raiz positiva inteira.

Exemplo:
Suponha \(a_1=6\), \(r=5\) e \(S_n=402\).
Usando \(S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a_1+(n-1)r\big)\):
\(402=\dfrac{n}{2}\big(2\cdot6+(n-1)\cdot5\big)\)
\(804=n(12+5n-5)=n(5n+7)\)
\(5n^2+7n-804=0\).
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
\(\Delta=7^2-4\cdot5\cdot(-804)=49+16080=16129\), \(\sqrt{\Delta}=127\).
\(n=\dfrac{-7\pm127}{10}\) → raiz positiva \(n=\dfrac{120}{10}=12\).
Portanto, são necessários 12 termos.