Como se determina a razão r de uma progressão aritmética conhecendo dois termos e suas posições?

Pela fórmula \(r=\dfrac{a_j-a_i}{\,j-i\,}\).

Isso decorre da fórmula do termo geral \(a_n=a_1+(n-1)r\); isolando r entre dois termos \(a_i\) e \(a_j\) obtém-se \(r=\dfrac{a_j-a_i}{j-i}\).

Exemplo:
Suponha \(a_3=14\) e \(a_8=39\).
Calcule \(r\): \(r=\dfrac{a_8-a_3}{8-3}=\dfrac{39-14}{5}=\dfrac{25}{5}=5\).
Agora \(a_5=a_3+(5-3)r=14+2\cdot5=24\).