Como determinar o termo inicial de uma progressão aritmética conhecendo um termo \(V_k\) e a razão \(r\), e como calcular a soma dos \(n\) primeiros termos?

V1 = V_k - (k-1)r e S_n = \dfrac{n}{2}\big(2V_1+(n-1)r\big)

Explicação:
Para obter o termo inicial, retrocede-se (k-1) vezes a razão a partir de \(V_k\).
Feito isso, aplica-se a fórmula da soma dos n termos da progressão aritmética.

exemplo:
Suponha uma PA com razão \(r=30\) e que o 10.º termo seja \(V_{10}=580\).
Calcule \(V_1\):
\(V_1=V_{10}-(10-1)r=580-9\cdot30=580-270=310\).
Calcule a soma dos 12 primeiros termos \(S_{12}\):
\(S_{12}=\dfrac{12}{2}\big(2\cdot310+(12-1)\cdot30\big)=6(620+330)=6\cdot950=5700\).