Como determinar a razão r de uma progressão aritmética conhecendo o primeiro termo a1 e a soma dos m primeiros termos S_m?

Use \(S_m=\dfrac{m(a_1+a_m)}{2}\) para achar \(a_m\), depois \(r=\dfrac{a_m-a_1}{m-1}\).

Passos:
1) Calcule \(a_m=\dfrac{2S_m}{m}-a_1\).
2) Calcule \(r=\dfrac{a_m-a_1}{m-1}\).
3) Para achar \(n\) sabendo \(S_n\), use \(a_n=a_1+(n-1)r\) e \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\) e resolva a quadrática resultante.

Exemplo:
Se \(a_1=2\) e \(S_4=26\):
\(a_4=\dfrac{2S_4}{4}-a_1=\dfrac{52}{4}-2=13-2=11\).
Então \(r=\dfrac{11-2}{3}=3\) e \(a_n=2+3(n-1)=3n-1\).
Se a soma total for \(S_n=100\):
\(\dfrac{n(2+3n-1)}{2}=100\Rightarrow n(3n+1)=200\Rightarrow 3n^2+n-200=0\).
\(\Delta=1+2400=2401\), \(n=\dfrac{-1\pm49}{6}\) ⇒ \(n=8\).