Flashcard FC367790
Como calcular o menor n tal que a soma dos n primeiros termos de uma PA (com a1 e razão r) atinja ou ultrapasse um valor S dado?
Progressão Aritmética
Instituto Consulplan · 2024
Como calcular o menor n tal que a soma dos n primeiros termos de uma PA (com a1 e razão r) atinja ou ultrapasse um valor S dado?
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Resposta
Resolve-se \(S=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\) com \(a_n=a_1+(n-1)r\) e toma-se o menor inteiro \(n\) que satisfaça a desigualdade.Explicação:
1) Escreva \(a_n=a_1+(n-1)r\).
2) Substitua em \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\) e obtenha uma equação ou inequação em \(n\).
3) Resolva a equação quadrática resultante; escolha a raiz positiva e, se necessário, arredonde para cima ao menor inteiro que satisfaça \(S_n\ge S\).
Exemplo:
Suponha \(a_1=5\), \(r=3\) e queremos o menor \(n\) com \(S_n\ge200\).
\(a_n=5+(n-1)3=3n+2\).
\(S_n=\dfrac{n(5+3n+2)}{2}=\dfrac{n(3n+7)}{2}\).
Resolver \(\dfrac{n(3n+7)}{2}\ge200\) ⇒ \(3n^2+7n-400\ge0\).
Raiz positiva: \(n=\dfrac{-7+\sqrt{7^2+4\cdot3\cdot400}}{6}=\dfrac{-7+\sqrt{4849}}{6}\approx10{,}44\).
Portanto, o menor inteiro que satisfaz é \(n=11\).
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Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/364402
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