Dado \(a<b<c\) inteiros positivos com \(a+b+c=S\) e \(c<a+b\), como determinar o maior valor possível de \(b\)?

Resposta

Substitua \(c=S-a-b\) e teste, do maior para o menor, os valores inteiros de \(b\) até existir algum inteiro \(a\ge1\) que satisfaça \(a

Explicação e exemplo:
Substituindo \(c=S-a-b\), as desigualdades tornam-se
\(b< S-a-b \Rightarrow a< S-2b\)
e \(S-a-b\tfrac{S}{2}\).
Para maximizar \(b\) escolha o maior inteiro \(b\) tal que exista inteiro \(a\ge1\) com
\(a<\min(b,\;S-2b)\) e \(a+b>\tfrac{S}{2}\).

Exemplo (S=15):
Substitua \(c=15-a-b\). Das desigualdades:
\(a<15-2b\) e \(a+b>7{,}5\Rightarrow a+b\ge8\).
Teste \(b=7\): \(a<1\) — impossível.
Teste \(b=6\): \(a<3\) e \(a\ge2\) (pois \(a+b\ge8\)), escolha \(a=2\).
Então \(c=15-2-6=7\) e \(2<6<7\) com \(7<2+6\).
Portanto, o maior valor possível de \(b\) é 6 para \(S=15\).