Qual é a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita com |q|<1 e como a soma muda se cada termo for multiplicado por uma constante?

Resposta:
Soma: \(S=\dfrac{a_1}{1-q}\) para \(|q|<1\).
Multiplicação por constante: se cada termo é multiplicado por \(k\), a soma fica \(kS\).

Explicação e exemplo:
A soma de uma PG infinita com primeiro termo \(a_1\) e razão \(q\) (com \(|q|<1\)) é dada por \(S=\dfrac{a_1}{1-q}\).
Se transformarmos cada termo \(a_n\) em \(k\cdot a_n\), a nova soma será \(k\cdot S\), pois a multiplicação por constante distribui-se sobre a soma.

Exemplo:
Considere uma sequência de segmentos com comprimentos \(8,4,2,1,\dots\) então \(a_1=8\) e \(q=\tfrac{1}{2}\).
Soma original: \(S=\dfrac{8}{1-\tfrac{1}{2}}=\dfrac{8}{\tfrac{1}{2}}=16\).
Se cada segmento for ampliado por \(k=3\), cada termo é multiplicado por 3 e a soma passa a ser \(3\cdot 16=48\), que também se obtém por \( \dfrac{3\cdot 8}{1-\tfrac{1}{2}}=\dfrac{24}{\tfrac{1}{2}}=48\).