Como se calcula a soma das distâncias percorridas entre termos consecutivos de uma progressão geométrica de posições?

Somando os (n−1) primeiros termos da PG das distâncias: \(S_{n-1}=a'_1\frac{q^{\,n-1}-1}{q-1}\), onde \(a'_1=|a_2-a_1|\) e \(q=|r|\).

Explicação:
Se a PG de posições tem razão \(r\) (podendo ser negativa), as distâncias entre termos consecutivos formam uma PG com primeiro termo \(a'_1=|a_2-a_1|\) e razão \(q=|r|\).
Para chegar ao n-ésimo termo soma-se os \(n-1\) deslocamentos:
\(S_{n-1}=a'_1\frac{|r|^{\,n-1}-1}{|r|-1}\).

Exemplo:
Posições: \(2,\,-4,\,8,\,-16,\,32\) (razão \(r=-2\)).
Distâncias: \(a'_1=|{-4}-2|=6\), \(q=2\).
Para alcançar o 5.º termo soma-se 4 deslocamentos:
\(S_4=6\frac{2^{4}-1}{2-1}=6(16-1)=6\cdot15=90\) unidades.