Como encontrar as interseções entre uma reta e as bordas de um quadrado e usar isso para calcular a área removida por cortes retilíneos?

Resposta

Determina-se as interseções com as arestas (solvendo \(y\) ou \(x\) conforme a borda), calcula-se as áreas dos polígonos removidos (triângulos/trapezóides) e subtrai-se da área do quadrado.

Explicação e exemplo:
Passos: identificar as equações das retas, encontrar pontos onde elas cruzam as bordas do quadrado (resolver \(y=\) valor da borda ou \(x=\) valor da borda), determinar as figuras geométricas removidas e calcular suas áreas; depois subtrair da área do quadrado.

Exemplo:
Considere um quadrado de lado 8 cm com vértice na origem (vértices: \((0,0),(8,0),(8,8),(0,8)\)). Duas retas: \(r_1(x)=\tfrac12x+4\) e \(r_2(x)=-x+10\).

Interseções com a borda superior \(y=8\):
Para \(r_1\): \(8=\tfrac12x+4\Rightarrow x=8\) → ponto \((8,8)\).
Para \(r_2\): \(8=-x+10\Rightarrow x=2\) → ponto \((2,8)\).

Interseções com a borda esquerda \(x=0\) e direita \(x=8\):
\(r_1(0)=4\) → \((0,4)\).
\(r_2(8)=-8+10=2\) → \((8,2)\).

Figuras removidas: dois triângulos
Esquerdo entre \((0,4),(0,8),(2,8)\): área \(=\dfrac{2\cdot4}{2}=4\) cm\(^2\).
Direito entre \((2,8),(8,8),(8,2)\): área \(=\dfrac{6\cdot6}{2}=18\) cm\(^2\).

Área do quadrado: \(8^2=64\) cm\(^2\).
Área restante: \(64-4-18=42\) cm\(^2\).