Flashcard FC367826
Dado \(S=\sum_{n=1}^{k}(a n + b)\), como determinar o valor inteiro positivo de \(k\) a partir de \(S,a,b\)?
Funções e Inequações
Instituto Consulplan · 2024
Dado \(S=\sum_{n=1}^{k}(a n + b)\), como determinar o valor inteiro positivo de \(k\) a partir de \(S,a,b\)?
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Resposta
k é a raiz inteira positiva da equação quadrática \( \dfrac{a}{2}k^2 +\left(\dfrac{a}{2}+b\right)k - S = 0\).Derivação:
\(S=\sum_{n=1}^{k}(a n + b)=a\sum_{n=1}^{k}n + b k = \dfrac{a\,k(k+1)}{2} + b k\).
Reescrevendo: \( \dfrac{a}{2}k^2 +\left(\dfrac{a}{2}+b\right)k - S = 0\).
Escolhe-se a raiz positiva inteira dessa equação (usar fórmula de Bhaskara e verificar integralidade).
exemplo:
Se \(a=2,\;b=10\) e \(S=80\):
\(S=\dfrac{2\,k(k+1)}{2}+10k = k(k+1)+10k = k^2+11k\).
Resolve-se \(k^2+11k-80=0\).
\(\Delta=11^2+4\cdot80=121+320=441,\;\sqrt{\Delta}=21\).
\(k=\dfrac{-11+21}{2}=5\).
Portanto \(k=5\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/364438
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